<center> **探究/トピック/「格子点」問題群 </center> <hr> ***定義 -GCの上では，格子点上に点の動きを制限することができる。 -算数・数学では，方眼あるいは格子点を使った問題もたくさんあり，それらを表現し，探究することができる。 *** 図と問題 / どんな三角形ができるかな ****どんな三角形ができるかな。(1) |#00201-0520-01| -動かすことができるのは，頂点Aのみ。 -「どんな」三角形という言葉で想定しているのは，「どんな種類の」三角形 -- 観点としては， ---「鋭角，直角，鈍角」 ---「正三角形，二等辺三角形，不等辺三角形」 -格子点に限定されているので，長さや位置によって作れるものが変わる。 $go3btyK6-Tw ****どんな三角形ができるかな。(2) |#00202-0520-02| -「つくりたい三角形」は正三角形 -step1では，「点Aを動かすだけではできなかった」ことの再確認。 -step2では「3点すべてを自由に動かすことができる」 -step3では「測定」も追加してみた。 -step4では格子点だけでなく，自由に動かせるようにしてみた。 $8F-8-FouRIY ****どんな三角形ができるかな。(3) -正三角形をつくりたい |#00204-0520-02| -step1は格子点上を3点を動かせる。 -step2では，平面の中を自由に動かせる。 -step3では，「あやしい点D」が表示されている。 -step4では，点を動かすと点Dに重なり，離すと格子点に移動。 --この現象はどういうこと? Dの正体は? $2qc6zDX-FX4 ****どんな四角形ができるかな。- 形から考える -代表的な形は？ -- 正方形，長方形，ひし形，平行四辺形，台形，一般的な四角形 -- まず，それをつくってみようか。 -格子点の上だけに動きを制約した図 |測定なし|辺の長さだけ|角だけ|辺の長さと角| |#00243-0528-00|#00242-0528-01|#00244-0528-02|#00245-0528-03| -「名前をつけてもいいと思える形」は登場するだろうか。 ****どんな四角形ができるかな。- 図全体の特徴から考える -点対称な四角形 -線対称の軸が，４本の四角形 -線対称の軸が，３本の四角形 -線対称の軸が，２本の四角形 -線対称の軸が，１本の四角形 -線対称の軸がない四角形 -格子点の上だけに動きを制約した図 |測定なし|辺の長さだけ|角だけ|辺の長さと角| |#00243-0528-00|#00242-0528-01|#00244-0528-02|#00245-0528-03| -他に図形全体の特徴として考えるに値するものはあるだろうか。 ****どんな四角形ができるかな。- 図の構成要素の関係から考える -４つの角が同じ大きさの四角形 -３つの角が同じ大きさの四角形 -２つの角が同じ大きさのものが２ペアの四角形 -２つの角が同じ大きさのものが１ペアの四角形 -４つの辺の長さが同じ大きさの四角形 -３つの辺の長さが同じ大きさの四角形 -２つの辺の長さが同じ大きさのものが２ペアの四角形 -２つの辺の長さが同じ大きさのものが１ペアの四角形 -格子点の上だけに動きを制約した図 |測定なし|辺の長さだけ|角だけ|辺の長さと角| |#00243-0528-00|#00242-0528-01|#00244-0528-02|#00245-0528-03| -辺について条件を考えたのに，そのときには角についても同時に成り立ってしまうケースはあるか？ -辺についての条件と角についての条件の「組み合わせ」を考えると興味深いものはあるか？ ****三角形の合同条件 |測定なし|SSS|SAS|ASA|AAS|SSA|AAA| |#00246-0528-3w-0|#00247-0528-3w-SSS|#00248-0528-3w-SAS|#00249-0528-3w-ASA|#00251-0528-3w-AAS|#00252-0528-3w-SSA|#00250-0528-3w-AAA| -測定値が等しければいつも合同になる？ -反例がある？ *** 図と問題 / 多角形の面積 : ピックの定理に向けて ****三角形の面積 |#00191-0519-04| -3点を自由に動かしたとき，どんなことに気づくか。 -最小の大きさの面積になるのは，どんなときか。 -他に，どんなきまりがあるのか。 --面積1になるのは...など，面積を固定して調べてみるのも一つの手 $pUuaXfq4cDc ****四角形の面積, 五角形の面積 |#00192-0519-05| |#00193-0519-06| -上記の図を，四角形，五角形に一般化 $D_KdvqIFceQ ****面積の公式について検討してみる |#00205-0520-03| $C2c1d1IgHXQ *** 図と問題 / 平方根・三平方の定理 ****平方根 |#00198-0519-11| -正方形の面積と，その一辺の長さを表示している。 -どんなことがわかるか。 -ここで表示可能な√nは，すべての自然数の平方根になるのだろうか。 -それとも，表せない平方根もあるのだろうか。 -ABが整数になるのはどんな場合だろう。 $0rFt703vKjA ****2点間の距離 |#00188-0519-01| -動かしてみることで，2点間の距離，あるいは線分の長さを観察することができる。 -小数点以下の桁数を変えてみると，印象も変わる。 --表示桁数が少ないと，整数になるのか，無理数になるのか，よくわからない。 --表示桁数が多いと，そのちがいは一目瞭然になるとともに，無理数を実感する。 --step4では，「離すと吸着」になっている。 $6ek1CgwW_Fo ****ピタゴラス数 |#00195-0519-08| -点を動かして離すと格子点の上に吸着するので，直角三角形になる。 -三辺とも整数になるような直角三角形をつくろう。 -これは，「本質的に無限個の種類がある」といってよいのだろうか。 -ここで探索的に探すのは「大変」ということを実感すると，より効率的に探すにはどうしたらいいのか，あるいは，「こういうのがあるはず」というのを推論で見つけていくにはどうしたらいいか，という流れにつなげていきたい。 *** 図と問題 / その他 ****正方形に内接する格子点四角形の面積 |#00194-0519-07| -それぞれの辺上の格子点のところに，E,F,G,Hをおける。 -EFGHの面積に関連して，どんなことがわかるか。 $jXWCWjB2oP0 ****3辺が整数の長さの格子点上の三角形 |#00196-0519-09| -格子点上に3点A,B,Cがあるとき，3辺の長さがすべて整数の三角形とはどのようなものか。 -ピタゴラス数の発展であって，ある意味問題としては自然だけれど，それほど深まらないかも。 $aPGVa1m_Zpg ****角の大きさ(°)が整数になる格子点上の三角形 |#00197-0519-10| -格子点上に3点A,B,Cがあるとき，角の大きさが整数になる三角形とはどのようなものか。 -問題としては自然だけれど，「発見」は現実的にはとてもむずかしそう。 $4AZBseeClJA </center>