<center> **探究/「条件を満たす点の集合」としての軌跡 </center> <hr> *** 定義 - ある点Pを動かせるとき，注目していることが「成立する」場合と「成立しない」場合があるとする。 - 「どんなときに成り立つのだろう」ということが気になる。 - それを明らかにするための手段として，「ここでは成立する」という場所を明確にしたい。 - 「成立する場所」を見つけては記録していき，その集合から探究を進めていくときに使えるのが，「条件を満たす点の集合」である。 ***GCの機能との関わり -まず，Pの軌跡の色を設定しておく -pを動かし，注目していることが成立しているとき，「記録」ボタンを押す。 -それを繰り返していくことで，点が集合として増えていく。 -それが，「記録」だが，誤差などを含むこともありうるので，精確かどうかはわからない。 -画面全体を調べているともかぎらないし，そもそもGCの中にあるのは平面全体のほんの一部分だ。 -それを手がかりに推論し，探究を進めていくことが大切だ。 ***高校数学での「軌跡」との関わり -高校数学での「軌跡」の定義は，「与えられた条件を満たす点全体の集合が表す図形」になっている。 -ある意味で，「高校での軌跡の定義」に該当するものが，ここでの軌跡(locus)になる。 -別の言い方をすれば，「点が動いた跡としての軌跡(trace)」は，動的幾何ソフトでの現象としては，primitiveなものになるけれども，高校数学での「軌跡」そのものを表現しているのではなく，高校数学での「軌跡として扱われるものの一つ」ということができる。 -現実の高校数学では，そこで想定している「条件」は，数式で処理されるもの，あるいはその後の数式処理が可能な対象に制限されている。 ***基本的な量にかかわる「条件」 -点と点との距離 （定点から距離が一定の集合は，円（周）である） --他にも，幾何的対象と幾何的対象の距離をもとにつくられる条件は多様 -角 --2定点と動点がなす角が一定の点の集合は，円（の一部）になる（円周角の定理の逆） -面積 --等積変形（定点ＢＣに対して，△ＡＢＣ＝△ＰＢＣとなる点Ｐの集合は，ＢＣに平行でＡを通る直線） ***f(x,y)=0, また，f(P)=0 という条件を満たす領域 -「条件」を式で表現したとき，それはＰに依存する式f(P)と表現でき，それが一定の値ｋをとるなら，それを変形し，f(P)-kという新しい数式を考えれば，一般ﾆ,f(p)=0という数式を満たすことと解釈できる。 -また，P(x,y)として，x,yで表現すると，f(x,y)=0という，陰関数ということができる。 ***GCの機能との関わり(2) -エキスパートモードにおいては，「いまうごしている点をPとしたら，その点がかかわっていて，「－」を含む式に対して，「測定」メニューの中でボタンを表示する。 -そして，そのボタンが押されたら，画面内部全体に関して探索し，f(P)>0,f(P)=0, f(P)<0 のいずれになるかを描画する機能がある。 -この機能を使うことで，「その画面の中に限定される」けれども，その条件を満たす集合を領域の境界として知ることができる。 ****備考 -GCに「そのような機能」があるとしても，生徒がその機能を使うのが適切かどうかは「場合による」 -つまり，点をプロットする作業そのものは時間がかかり，非効率的な作業だが，「ここならどうなるかを予想」したり，「実際に実験結果を観察」したり，また，「どういう場所をどういう順序で調べていくかの作戦をたてる」とか，まわりのグループとの違いを考えるとか，部分的に得られた結果から推定するなどの活動が「意味をもつ」ならば，「ボタンを押したら自動的に描画する」という機能は，そういう機会を奪ってしまうといえるからだ。 -しかし，たとえば，問題の条件をかえた自作問題について考える様な場合，結果がどうなるかがわからない。そのとき，「探究する価値がない問題」に取り組んでいることもありうる。短時間で「取り組む価値があるかどうかを検討する」というような場合には，この機能はとても役に立つ。 -そのような意味で，「授業の中でどういう活動をさせたいか」によって，教師目線で活動を選択し，それに対応する機能を選択することは重要だ。 ***注目したい条件は，「量」だけではない。 -たとえば，図形の中で，ある形が長方形になる場合に注目するなど，図形の性質に注目することも多い。 -実は，その性質は，数式に帰着することができることも多いので，広い意味では「f(P)=0としての軌跡」にかかわるのだが，授業等での課題を考える上では，数式とか，量のみに限定して考えない方がいい。 *** いろいろな問題とその発展 |@01_121-distance.htm,距離|@01_121-area.htm,面積|@01_121-angle.htm,角|